Псевдоевклидово пространство. Изменим теперь закон определения расстояний между точками пространства: будем определять расстояние OM и по формуле OM² = x² + y² + z², а по формуле

OM² = x² + y² - z².     (1')

     Расстояние OM, очевидно, является положительным действительным числом только в том случае, когда x² + y² > z²; в случае же, когда x² + y² < z², расстояние OM представляет собой мнимое число, а в случае, когда x² + y² = z², расстояние OM равно нулю, хотя точка M и не совпадает с точкой O.

     Соответственно заменим формулу (3) для определения расстояний между произвольными точками M₁ и M₂ формулой

     (3')

а формулу (4) для углов между отрезками OM₁ и OM₂ - формулой

     (4')

Пространство, в котором длины и углы определяются формулами (1'), (3') и (4'), сохраняет много свойств пространства Евклида, но в ряде отношений резко отличается от него. Это пространство называют псевдоевклидовым пространством. В псевдоевклидовом пространстве, как видно из определения расстояний в нем, имеется три вида прямых: прямые, все отрезки которых имеют положительную действительную длину; прямые, все отрезки которых имеют мнимую длину, и прямые, все отрезки которых имеют нулевую длину. По причинам, которые будут выяснены в следующем пункте, первые из них называются пространственноподобными прямыми, вторые - времяподобными, а третьи (т. е. прямые, все отрезки которых имеют нулевую длину) - изотропными.

     Нетрудно построить модель псевдоевклидова пространства на евклидовой плоскости: точки этого пространства изображаются окружностями с некоторым направлением обхода, причем точка с координатами x, y, z изображается окружностью, центр которой имеет координаты x, y, радиус равен |z|, а направление обхода противоположно движению часовой стрелки при z > 0 и совпадает с направлением движения часовой стрелки при z < 0. Если условимся называть касательным расстоянием между такими окружностями расстояние между точками касания этих окружностей и такой их общей касательной, на которой направление обхода окружностей определяет одно и то же направление, то касательное расстояние между окружностями с центрами O₁ и O₂, соответствующими точками псевдоевклидова пространства M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), равно выражению M₁M₂, определяемому соотношением (3') (см. Рис. 13).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-