Нетрудно доказать в псевдоевклидовой геометрии и теорему Пифагора: если отрезки OM и ON перпендикулярны (т. е. имеет место равенство (6), где x₁, y₁ и x₂, y₂ - координаты векторов и ), то

(см. Рис. 11). Заметим только, что при этом, если, скажем, гипотенуза MN и катет OM треугольника имеют вещественную длину, то длина катета ON обязательно окажется мнимой, так что здесь гипотенуза MN будет короче катета OM. Последнее обстоятельство можно сопоставить со следующим неожиданным фактом. Если точки A, B и C псевдоевклидовой плоскости принадлежат одной прямой и точка B лежит между A и C, то, очевидно, AB + BC = AC (см. Рис. 12, а). Но если точки A, B и C не лежат на одной прямой и, скажем, все стороны треугольника ABC имеют вещественную длину, то большая сторона треугольника обязательно будет больше суммы двух других; это легко увидеть на Рис. 12, б, где AB = AB₁ и CB = CB₂.

     Обобщением теоремы Пифагора являестя теорема косинусов: для произвольного треугольника ABC

BC² = AB² + AC² - 2AB · AC · ch A,     (8)

где, однако, длины сторон могут быть как действительными, так и мнимыми, а под углом A понимается псевдоевклидов угол между сторонами AB и AC (см. * ). Из этой формулы можно снова вывести, что если все стороны треугольника ABC вещественны, то одна из них обязательно больше суммы двух других.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-