Псевдоевклидовы движения могут быть использованы для вывода многих геометрических фактов, относящихся к псевдоевклидовой геометрии. Большинство теорем псевдоевклидовой геометрии очень близко к теоремам обычной геометрии Евклида, которые, впрочем, иногда на псевдоевклидовой плоскости своеобразно искажаются. Так, без всяких изменений переносятся в псевдоевклидову геометрию три признака равенства треугольников или теоремы о равнобедренном треугольнике (см. Рис. 8, где AB = AC; заметьте, что псевдоевклидова симметрия относительно прямой AD - высоты, биссектрисы и медианы треугольника - переводит треугольник ABD в треугольник ACD!)

Сохраняются в псевдоевклидовой геометрии и теоремы о замечательных точках треугольника с тем лишь видоизменением, что здесь некоторый угол BAC имеет биссектрису (прямую, образующую равные углы с его сторонами) лишь в том случае, если стороны AB и AC угла являются прямыми одного рода (обе с вещественной или обе с мнимой длиной отрезков); поэтому говорить о точке пересечения биссектрис треугольника можно лишь в том случае, если все его стороны - прямые одного рода. Доказательство теорем о точках пересечения перпендикуляров, восстановленных к сторонам треугольника в его серединах, и о точке пересечения биссектрис трех углов треугольника (если все эти биссектрисы существуют) непосредственно переносится в псевдоевклидову геометрию из евклидовой. Еще проще обстоит дело с теоремой о точке пересечения медиан, поскольку псевдоевклидовы медианы треугольника ABC одновременно являются и его евклидовыми медианами (и, значит, наверное пересекаются в одной точке). [Отсюда вытекает также, что в псевдоевклидовой геометрии медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.] Большинство доказательств теоремы о точке пересечения высот треугольника тоже переносится в псевдоевклидову геометрию без всяких изменений. Так, например, из того, что преобразование гомотетии, переводящее треугольник ABC в треугольник DEF, образованный средними линиями треугольника ABC, переводит высоты треугольника ABC в перпендикуляры, восстановленные к его сторонам в их серединах, вытекает, что высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке H, лежащей на одной прямой с центром Q описанной вокруг ABC окружности, и с точкой M пересечения его медиан, причем HM : MQ = 2 : 1 (см. Рис. 9).

Наконец, из известных свойств гиперболы вытекает, что если M - произвольная точка (псевдоевклидовой) окружности S, а AB - ее диаметр (хорда, проходящая через центр окружности), то прямые MA и MB перпендикулярны (в смысле псевдоевклидовой геометрии; см. Рис. 10). Также и более общая теорема евклидовой геометрии: "множество точек, из которых данный отрезок AB виден под постоянным (направленным) углом, представляет собой окружность" - может быть перенесена в псевдоевклидову геометрию.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-