В силу уравнения (4a) "единичной окружности", функции ch ψ и sh ψ связаны между собой соотношением

ch²ψ - sh²ψ = 1.     (5)

Это соотношение сохраняет силу и для отрицательных углов -ψ, образуемых с лучом OA лучами, получаемыми из OA поворотом в направлении вращения часовой стрелки (здесь считаем положительными углы, отсчитываемые в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки). Из рис. 4, б видно, что гиперболические функции отрицательных углов связаны с функциями положительных углов соотношениями, в точности копирующими соотношения, выполняющиеся для тригонометрических функций:

ch (-ψ) = ch (ψ),     sh (-ψ) = -sh (ψ).

     Условимся считать отрезки OM₁ и OM₂ перпендикулярными (в смысле псевдоевклидовой геометрии), если они образуют такой псевдоевклидов угол φ, что cos φ = 0, т. е.

x₁x₂ - y₁y₂ = 0.     (6)

Так, например, отрезку OA будет перпендикулярен отрезок OB, где точка B имеет координаты 0, 1. Нетрудно проверить, что перпендикулярные в этом смысле прямые OM₁ и OM₂ будут сопряжены относительно псевдоевклидовой окружности (4a), т. е. каждая из них будет делить пополам хорды гиперболы, параллельные другой прямой (см. Рис. 5, а). Это обстоятельство подчеркивает близость "псевдоевклидовой перпендикулярности" к обычной перпендикулярности в смысле Евклида: ведь в геометрии Евклида перпендикулярные прямые также сопряжены относительно (евклидовой) окружности (см. Рис. 5, б).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-