Перейдем теперь к понятию угла в псевдоевклидовой геометрии. Найдем по формуле (2) угол φ между векторами и с координатами 1, 0 и x, y. В этом случае формулу (2) можно переписать в виде

     (2")

Если x > 0, x² - y² > 0, то из формулы (2") следует, что cos φ > 1, - получается абсурдный результат с точки зрения евклидовой геометрии, поскольку косинус (вещественного) угла φ не может превосходить 1. Поэтому приходится считать угол φ мнимым: φ = iψ; при этом (в соответствии с формулами, обосновываемыми в курсах математического анализа) положим cos φ = cos(iψ) = ch ψ, где - функция, называемая гиперболическим косинусом угла ψ.

     Нетрудно пояснить, с чем связано такое название. Обыкновенный косинус угла φ между векторами и можно определить как абсциссу M₀P точки M₀, в которой луч OM пересекается с окружностью x² + y² = 1, имеющей центр O и радиус 1 (см. Рис. 4, а); с этим обстоятельством связан общеупотребительный термин "круговые функции" для функций cos φ и sin φ (заметим, что sin φ можно определить как ординату точки M₀). Величина же (см. формулу (2")) может быть определена как абсцисса M⁰P точки M⁰ пересечения луча OM с псевдоевклидовой окружностью, т. е. с гиперболой (см. Рис. 4, б).

Ординату M⁰Q точки M⁰ принимают за гиперболический синус псевдоевклидова угла ψ между векторами и . Из рис. 4, б сразу следует, что ch φ ≥ 1; при этом ch ψ = 1, лишь если ψ = 0, т. е. если луч OM совпадает с лучом OA.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-