Все точки M, для которых OM = 0, удовлетворяют условию

x² - y² = 0,     (3)

т. е. расположены на двух прямых y = x и y = -x (см. Рис. 1).

Координаты всех точек, удаленных от точки O на постоянное расстояние r (т. е. точек, лежащих на "окружности" радиуса r с центром в точке O), удовлетворяют уравнению

x² - y² = r².     (4)

В случае мнимого радиуса r = qi уравнение (4) можно переписать в виде

x² - y² = -q².     (4')

а в случае, когда r = 0, - в виде (3). Уравнения (4) и (4') на евклидовой плоскости являются уравнениями гипербол. На Рис. 2 изображены окружности (4) и (4').

     Ясно, что определяемая по формуле (1'a) длина отрезка M₁M₂ равна длине отрезка OM, полученного из отрезка M₁M₂ параллельным переносом. Если длина отрезка OM действительна, то ее можно определить как отношение , где OM⁰ - "единичный отрезок" направления OM, т. е. отрезок, определяемый точкой OM⁰ пересечения прямой OM с "единичной окружностью"

x² - y² = 1     (4а)

(см. Рис. 3). Величину же отрезка ON мнимой длины можно определить как умножение на i отношение , где N⁰ - точка пересечения прямой ON с "единичной окружностью мнимого радиуса"

x² - y² = -1.     (4'а)

Отсюда, в частности, следует, что если из двух параллельных отрезков AB и CD один, скажем, вдвое больше другого в смысле евклидовой геометрии, что и псевдоевклидова длина его будет вдвое больше псевдоевклидовой длины второго отрезка. Однако для отрезков разных направлений отношение их всевдоевклидовых длин вовсе не совпадает с отношением их длин в евклидовой геометрии.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-