Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Формулы / Неевклидовы геометрии / Псевдоевклидова геометрия / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Ранее уже видели, что поверхность, определяемая уравнением (9), представляет собой конус. Поверхности, определяемые уравнениями (2') (при действительном r) и (2") в евклидовом пространстве, называются гиперболоидами; такие поверхности можно получить вращением гиперболы вокруг одной из ее осей симметрии. Поверхности с уравнениями (2') и (2") являются соответственно однополостным гиперболоидом (см. Рис. 18, а) и двуполостным гиперболоидом (см. Рис. 18, б).
Нетрудно проверить, что касательная плоскость к сфере мнимого радиуса является евклидовой плоскостью, касательная плоскость к сфере действительного радиуса является псевдоевклидовой плоскостью, а касательная плоскость к сфере нулевого радиуса (конусу), как видели ранее, является полуевклидовой плоскостью. При этом во всех случаях касательная к сфере оказывается перпендикулярной к радиусу, проведенному в точку касания, в том смысле, что радиус перпендикулярен к каждой прямой, лежащей в касательной плоскости. При этом перпендикулярность двух прямых псевдоевклидова пространства, задаваемых векторами a(x1, y1, z1) и b(x2, y2, z2), означает равенство нулю "псевдоскалярного произведения" ab = x1x2 + y1y2 - z1z2 этих векторов. В псевдоевклидовом пространстве (как и в евклидовом) геометрия на сфере в малых ее участках близка к геометрии касательной плоскости сферы. Поэтому геометрия на сфере мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве в малых ее участках близка к геометрии евклидовой плоскости, геометрия на сфере действительного радиуса в этом пространстве в малых ее участках близка к геометрии псевдоевклидовой плоскости, а геометрия на сфере нулевого радиуса в малых участках близка к геометрии полуевклидовой плоскости. Роль прямых линий на сферах в псевдоевклидовом пространстве, так же как на сферах в евклидовом пространстве, играют сечения сфер плоскостями, проходящими через центр, которые здесь будем называть большими окружностями. Расстояние между точками M1 и M2 сферы в псевдоевклидовом пространстве, измеренное по большой окружности сферы, так же как в евклидовом пространстве, пропорционально углу между отрезками OM1 и OM2 и радиусу сферы и определяется по формуле (аналогичной формуле (5))
В случае сферы мнимого радиуса r = qi эту формулу можно (учитывая, что
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17- |
(5')
) переписать в виде
(5'a)