Псевдоевклидова геометрия

     Псевдоевклидова плоскость. Известно, что в евклидовой плоскости расстояние от начала координат O до точки M(x, y) выражается (в прямоугольных координатах) формулой

OM² = x² + y²,     (1)

а расстояние между двумя произвольными точками M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂) - формулой

     (1а)

Далее, угол φ между отрезками OM₁ и OM₂ вычисляется с помощью соотношения

     (2)

Заменим теперь эти формулы следующими:

     (1')

     (1'a)

     (2')

     Другими словами, будем рассматривать ту же самую плоскость (с введенной в ней системой координат x, y), но вместо обычной евклидовой метрики введем в ней новые расстояния и углы по формулам (1'), (1'a), (2').

     Расстояние (1') является положительным действительным числом лишь в случае, если |x| > |y|; если же |x| < |y|, то расстояние OM мнимо, а если |x| = |y|, то расстояние OM равно нулю, хотя точка M и не совпадает с O. Соответственно этому в плоскости с таким определением длин и углов существуют три разных типа прямых: прямые, все отрезки которых имеют положительную действительную длину; прямые, все отрезки которых имеют мнимую длину; прямые, все отрезки которых имеют нулевую длину.

     Плоскость, в которой длины определяются формулой (1') (или (1'a)), в некоторых отношениях очень близка к обычной евклидовой плоскости; однако в ряде отношений она резко отличается от плоскости Евклида. Эту плоскость принято называть псевдоевклидовой плоскостью. Так как соответствующая геометрическая схема (отличающаяся, разумеется, от обычной евклидовой геометрии) была впервые развита выдающимся немецким математиком и физиком Германом Минковским, то псевдоевклидову плоскость можно нызвать неевклидовой плоскостью Минковского.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-