решения некоторых задач

Значит, объем полушара выражается формулой^*

откуда следует и известная формула для объема шара

     Следующие примеры еще ярче демонстрируют чрезвычайную силу общих методов интегрального исчисления.

     Пример 3. Пусть T есть тело, отсекаемое от прямого кругового цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр его основания (см. Рис. 10). Это тело называется "цилиндрическим отрезком". Положим AB = H, OA = R и выразим объем V тела T через R и H.

     Для этого рассмотрим треугольник O₁A₁B₁, получающийся в сечении тела T плоскостью, параллельной плоскости OAB и отстоящей от последней на расстояние OO₁ = x.

     Площадь упомянутого треугольника равна .

     Из теоремы Пифагора следует, что , а из подобия треугольников OAB и O₁A₁B₁ вытекает, что A₁B₁ : AB = O₁A₁ : OA, откуда

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-

^*   Эта формула получается также при помощи принципа Кавальери из формул объемов цилиндра и конуса. Именно, поместим полушар радиуса R между плоскостями верхнего и нижнего оснований цилиндра радиуса R и высоты R, из которого "высверлен" конус того же радиуса и той же высоты (см. Рис. 9).

Плоскость H, изображенная на чертеже, пересекает полушар по кругу радиуса , цилиндр - по кругу радиуса R, а конус - по кругу радиуса x. Поэтому площади обоих заштрихованных сечений равны π(R² - x²). Значит, объем полушара равен разности . Этот интересный вывод целесообразно сообщать и в средней школе.