решения некоторых задач

     Последняя формула показывает, что форма фигуры никакой роли не играет. Важна лишь длина r(x) отрезка ординаты между линиями y = f(x) и y = g(x).

     Отсюда следует, что, взяв другую пару функций f₁(x) и g₁(x), подчиненную условию g₁(x) - f₁(x) = r(x), мы получим фигуру, равновеликую прежней. Этот результат, установленный еще в XVII в. одним из предшественников Ньютона и Лейбница итальянцем Кавальери, допускает и чисто геометрическую формулировку:

     Принцип Кавальери. Если две плоские фигуры I и II содержатся между двумя параллельными прямыми p и q (см. Рис. 4) и обладают тем свойством, что в сечении их любой прямой r, параллельной p и q, получаются отрезки одинаковой длины, то эти фигуры имеют одну и ту же площадь.

     Легко показать^*, что в том случае, когда упомянутые отрезки не равны друг другу, то находятся в некотором постоянном отношении, то в том же отношении будут находиться и площади фигур I и II.

     Вычисление объемов

     Рассмотрим тело T, содержащееся между параллельными плоскостями x = a и x = b. Допустим, что в сечении тела T каждой плоскостью x = x₀, перпендикулярной к оси Ox, получается фигура T(x₀), имеющая площадь F(x₀), причем F(x) есть непрерывная функция аргумента x (см. Рис. 5).

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-

^*   В самом деле, одна из площадей будет выражаться формулой (1), а другая - аналогичной формулой . Если r₁(x) = k r(x), то и F₁ = k F.