решения некоторых задач

Отсюда и из (7) вытекает, что

     (10)

     При измельчении дробления первая написанная здесь сумма стремится к интегралу, стоящему в (9). Остается показать, что вторая сумма стремится к нулю. С этой целью возьмем ε > 0. Согласно (8), этому ε отвечает такое δ > 0, что при 0 < Δx < δ будет

|ρ([x, x + Δx])| < εΔx.

     Найдя подобное δ, рассмотрим такое дробление [a, b], у которого λ = max(x_k+1 - x_k)< δ. Тогда

     Таким образом, вторая сумма правой части (10) действительно стремится к нулю, чем и доказано (9).

     Итак, если удастся установить "приближенную пропорциональность" величины P([x, x + Δx]) и длины Δx малого промежутка [x, x + Δx], то уже отсюда будет вытекать возможность вычислять величину P по формуле (9).

     В этом и состоит вышеупомянутая общая схема для приложений интегрального исчисления. Именно, все сводится к приближенному (с точностью до малых высшего порядка) выделению из "элементарного" слагаемого P([x, x + Δx]) величины вида p(x)Δx.

     Так, например, полоску, изображенную на Рис. 17, приближенно можно принять за прямоугольник с основанием Δx и высотой f(x). Отсюда сразу вытекает, что

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-