решения некоторых задач

     Рассмотрим, например, непрерывную положительную функцию f(x), заданную для . Тогда с каждым промежутком [α, β], содержащимся в [a, b], связываем величину F([α, β]) площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, y = f(x), x = α, x = β. Площадь F([α, β]) и будет функцией промежутка [α, β]. Другим примером может служить объем V([α, β]) тела, образованного вращением указанной трапеции вокруг оси Ox. Вот еще один простой пример: пусть на [a, b] непрерывным образом распределена масса; тогда количество m([α, β]) массы, попавшее на промежуток [α, β], будет функцией этого промежутка.

     Функция промежутка P([α, β]) называется аддитивной, если при α < γ < β будет

P([α, β]) = P([α, γ]) + P([γ, β]).

     Функции F([α, β]), V([α, β]), m([α, β]), о которых говорили только что, очевидно, аддитивны.

     Рассмотрим аддитивную функцию промежутка P([α, β]) и допустим, что на основном промежутке [a, b] определена непрерывная функция p(x), связанная с P([α, β]) следующим соотношением

P([x, x + Δx]) = p(x) Δx + ρ([x, x + Δx]),     (7)

где ρ([x, x + Δx]) есть функция, обладающая тем свойством, что^*

     (8)

     Грубо говоря, соотношение (7) означает, что значение величины P, отвечающее весьма малому промежутку [x, x + Δx], почти пропорционально его длине Δx, т. к. величина ρ([x, x + Δx]) (при бесконечно малом Δx) есть бесконечно малая высшего порядка.

     Покажем, что в этих условиях значение P([a, b]) величины P, отвечающее всему промежутку [a, b], выражается формулой

     (9)

     В самом деле, разбив [a, b] точками x₀ = a < x₁ < ... < x_n = b, на основании аддитивности величины P получим

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-

^*   Точный смысл равенства (8) таков: всякому ε > 0 отвечает такое δ > 0 (не зависящее от x), что при 0 < Δx < δ будет .