решения некоторых задач

     В качестве примера рассмотрим вопрос о площади шарового пояса.

     Пусть полуокружность

вращается вокруг оси Ox. Рассмотрим площадь поверхности, образованной вращением той дуги этой полуокружности, которая лежит между прямыми x = -h и x = +h, где^* 0 < h < R. У нас

откуда

     Такова площадь шарового пояса. Устремляя h к R и переходя к пределу, получим^** площадь поверхности шара L = 4πR².

     Общие указания по поводу приложений интегрального исчисления и его связей с дифференциальным исчислением

     Большая часть приложений теории определенного интеграла строится по одной и той же схеме. Здесь мы постараемся выявить характерные черты этой важной схемы.

     Пусть всякому промежутку [α, β], содержащемуся в некотором закрепленном промежутке [a, b], отвечает значение определенной физической или геометрической величины P, которое будем обозначать через

P([α, β]).

     Такую величину естественно называть "функцией промежутка [α, β]".

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-

^*   Применить теорему данного пункта для всего промежутка [-R, +R] здесь нельзя, так как функция не имеет производной при x = ±R.

^**   Последнее заключение не вполне обосновано. Рассматривать площадь поверхности шара как предел площади шарового пояса, строго говоря, мы не вправе, т. к. по определению должны понимать ее только как предел площади L' поверхности (L'). Можно было бы, непосредственно изучая упомянутую площадь L' для данного примера, доказать формулу L = 4πR², однако это было бы довольно громоздко, и задерживаться на этом не будем.