решения некоторых задач

     Так как абсциссы точек A и B соответственно равны и , а в промежутке функция уже удовлетворяет условиям теоремы, то дуга AB спрямляема и ее длина такова:

Отсюда

а так как AB есть в точности одна четверть всей окружности, то окружность спрямляема и ее длина равна 2πR.

     Площадь поверхности вращения

     Рассмотрим кривую y = f(x), где f(x) - непрерывная функция, заданная в промежутке [a, b]. Для простоты эту функцию будем предполагать положительной. Впишем в нашу кривую ломаную с вершинами M_k(x_k, f(x_k)), где x₀ = a < x₁ < x₂ < ... < x_n = b. Пусть наша кривая, а вместе с ней и упомянутая ломаная вращаются вокруг оси Ox. Тогда кривая опишет некоторую поверхность вращения (L), а ломаная - вписанную в нее поверхность (L'), составленную из n усеченных конусов (в частном случае вырождающихся в цилиндры). Если при стремлении к нулю наибольшей из хорд M_kM_k+1 площадь^* L' поверхности (L') стремится к конечному пределу L, то последний называется площадью поверхности (L)^**.

     Теорема. Если у функции f(x) существует непрерывная производная f'(x), то поверхность (L) имеет площадь, выражающуюся формулой

     (5)

     В самом деле, площадь боковой поверхности конуса, образованного вращением звена M_kM_k+1, равна

Но по формуле Лагранжа

f(x_k+1) - f(x_k) = f'(ξ_k)(x_k+1 - x_k)     (x_k < ξ_k < x_k+1).

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-

^*   Считаем известным, что боковая поверхность усеченного конуса имеет площадь, равную его образующей, умноженной на периметр среднего сечения.

^**   Это определение площади поверхности пригодно только для поверхностей вращения. В общем случае определение площади поверхности значительно усложняется.