решения некоторых задач

     Но по формуле Лагранжа

f(x_k+1) - f(x_k) = f'(ξ_k)(x_k+1 - x_k),

где x_k < ξ_k < x_k+1. Таким образом, длина σ всей ломаной такова:

     Так как это выражение есть интегральная сумма непрерывной функции

то [при стремлении к нулю величины λ = max(x_k+1 - x_k)] оно стремится к интегралу, стоящему в (4). Если обозначить через μ наибольшее из звеньев M_kM_k+1, то, очевидно, будет λ ≤ μ. Поэтому когда стремится к нулю μ, то λ и подавно стремится к нулю, откуда и вытекает справедливость теоремы.

     Пример. Рассмотрим окружность радиуса R. Помещая ее центр в начало координат, запишем ее уравнение в виде

x² + y² = R².

Тогда уравнение верхней полуокружности будет

откуда следует, что

     Если рассматривать всю верхнюю полуокружность, т. е. изменять x в промежутке [-R, +R], то не сможем применить доказанную выше теорему, т. к. производная y' не существует при x = ±R. Поэтому рассмотрим лишь ту половину верхней полуокружности, которая лежит между прямыми y = x и y = -x (т. е. дугу AB, см. Рис. 16).

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-