решения некоторых задач

     Положительные ряды

     Если a_n ≥ 0 (n = 1, 2, 3, ... ), то ряд a₁ + a₂ + a₃ + ... называется положительным. В том случае, когда при всех n оказывается a_n > 0, будем называть ряд строго положительным.

     Положительные ряды обладают многими свойствами, сближающими их с обычными суммами конечного числа слагаемых.

     Легко видеть, что частичная сумма

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n

положительного ряда возрастает (может быть, не строго) с увеличением n. Так как всякая возрастающая числовая последовательность имеет конечный или бесконечный предел (причем члены последовательности не превосходят этого предела), то для любого положительного ряда существует предел

     Этот предел будет конечным или бесконечным, смотря по тому, ограничено сверху или нет множество частичных сумм {S_n}. Таким образом, имеет место

     Теорема 1. Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда множество его частичных сумм ограничено сверху.

     Разумеется, у ряда не положительного ограниченность множества частичных сумм не обеспечивает сходимости, как это видно из примера ряда 1 + (-1) + 1 + (-1) + ...

     Отметим еще, что частичные суммы сходящегося положительного ряда не превосходят его суммы.

     Доказанная теорема сводит вопрос о сходимости положительного ряда к более простому вопросу об ограниченности множества его частичных сумм.

     Рассмотрим, например, ряд

     (24)

в котором α > 1. Сумму этого ряда можно записать так:

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-