решения некоторых задач

     Если ряд сходится, то, как это видно из равенства (21), сумма его остатка после m-го члена в точности равна разности между суммой S всего ряда и его частичной суммой S_m. Так как при возрастании m частичная сумма S_m будет стремиться к S, то отсюда следует

     Теорема 5. Сумма остатка сходящегося ряда после m-го члена стремится к нулю при возрастании m

     В заключение докажем одно, часто используемое, необходимое условие сходимости ряда.

     Теорема 6. Общий член сходящегося ряда при возрастании своего номера стремится к нулю.

     Иными словами, из сходимости ряда

a₁ + a₂ + a₃ + ...     (22)

вытекает, что

     (23)

     Действительно, если сумму ряда (22) обозначить через S, то с возрастанием n каждая из сумм

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n,     S_n-1 = a₁ + a₂ + ... + a_n-1

будет стремиться к S. Но тогда

S_n - S_n-1 → S - S = 0,

и остается заметить, что S_n - S_n-1 = a_n.

     Весьма важно подчеркнуть, что условие (23), будучи необходимым для сходимости ряда (22), вовсе не является для этой сходимости достаточным. В самом деле, гармонический ряд

очевидно удовлетворяет условию (23), но, как было показано ранее он расходится.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-