решения некоторых задач

     Теорема 3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать.

     Более подробно эта теорема может быть сформулирована так: если

a₁ + a₂ + a₃ + ... = A,     (15)

b₁ + b₂ + b₃ + ... = B,     (16)

то

(a₁ + b₁) + (a₂ + b₂) + (a₃ + b₃) + ... = A + B.     (17)

     Для доказательства теоремы обозначим соответственно через A_n, B_n и S_n частичные суммы рядов (15), (16) и (17). Тогда

S_n = A_n + B_n, A_n → A, B_n → B,

откуда следует, что S_n → A + B.

     Введем важное понятие остатка ряда. Именно, если

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + ...     (18)

есть некоторый ряд, а m - какое-нибудь натуральное число, то остатком ряда (8) после m-го члена называется ряд

a_m+1 + a_m+2 + a_m+3 + ...     (19)

     Теорема 4. Сам ряд и его остаток сходятся или расходятся одновременно.

     В самом деле, пусть частичные суммы рядов (18) и (19) суть соответственно S_n и . Тогда при n > m

     (20)

     Допустим, что остаток (19) сходится и его сумма равна R_m. Тогда при стремлении n к бесконечности будет

откуда следует, что S_n → S_m + R_m. Иначе говоря, ряд (18) также сходится, и его сумма есть

S = S_m + R_m.     (21)

     Обратно, если сходится ряд (18) и сумма его равна S, то из того же соотношения (20) вытекает, что

чем и доказана сходимость ряда (19).

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-