решения некоторых задач

     Простейшие свойства рядов

     Теорема 1. Если члены сходящегося ряда, не меняя их порядка, объединить в конечные группы и составить ряд из сумм этих групп, то он будет сходиться и иметь сумму, равную сумме первоначального ряда.

     Иначе говоря, если

a₁ + a₂ + a₃ + ... = S     (11)

и n₁ < n₂ < n₃ < ..., то

     (12)

     В самом деле, если S_n и суть соответственно частичные суммы рядов (11) и (12), то, как легко видеть,

Это означает, что последовательность является частичной по отношению к последовательности S₁, S₂, S₃, ... Так как последняя сходится к S, то это верно и относительно последовательности .

     Доказанную теорему можно коротко формулировать так: члены сходящегося ряда можно заключать в скобки. Еще иначе можно сказать, что сходящиеся ряды обладают "сочетательным свойством".

     Интересно отметить, что из сходимости ряда (12) не вытекает сходимость ряда (11). Это видно хотя бы из следующего примера: хотя ряд

[1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + ...

сходится, но ряд

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + ...

расходится. Таким образом, "раскрывать скобки" можно не всегда.

     Теорема 2. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число, то вновь полученный ряд будет сходиться, и его сумма будет равна сумме первоначального ряда, умноженной на то же число.

     Иначе говоря, если

a₁ + a₂ + a₃ + ... = S,     (13)

то

ca₁ + ca₂ + ca₃ + ... = cS.     (14)

     Для доказательства вводим частичные суммы S_n и рядов (13) и (14). Из соотношений

вытекает, что , чем и доказана теорема.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-