Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Пример 6. В качестве последнего примера рассмотрим геометрическую прогрессию a + aq + aq2 + aq3 + ... (a ≠ 0). (10) Если q = 1, то частичная сумма прогрессии имеет вид Sn = an и прогрессия расходится аналогично ряду (5). Если же q ≠ 1, то по известной формуле алгебры
Если |q| < 1, то при возрастающем n величина qn стремится к нулю и
Если же |q| > 1, то qn стремится к бесконечности, и у Sn конечного предела нет. Если, наконец, |q| = 1, то, останавливаясь на случае q = -1 (т. к. случай q = +1 уже рассмотрен), приходим к прогрессии вида a + (-a) + a + (-a) + ..., которая аналогично ряду (6) оказывается расходящейся. Таким образом геометрическая прогрессия (10) сходится тогда и только тогда, когда абсолютная величина ее знаменателя меньше единицы |q| < 1. В последнем случае сумма прогрессии равна
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23- |
