решения некоторых задач

     Так как все ряды, получаемые расположением членов матрицы (61) в какую-нибудь последовательность, сходятся абсолютно, а с другой стороны, они получаются и друг из друга перестановками членов, то все они имеют одну и ту же сумму S. В частности, эту сумму S имеют и ряды (62) и (63). Но ряд (58) получается объединением членов ряда (62) в надлежащие группы, что, как мы знаем, не меняет суммы сходящегося ряда. Значит, S = C. Таким образом, C есть сумма ряда (63). Эту последнюю сумму мы найдем, объединив члены ряда (63) в группы из одного, трех, пяти и т. д. членов, т. е. как сумму ряда

a₁b₁ + (a₁b₂ + a₂b₂ + a₂b₁) + (a₁b₃ + a₂b₃ + a₃b₃ + a₃b₂ + a₃b₁) + ...

     сумма n членов этого последнего ряда, очевидно, может быть записана так:

a₁b₁ + a₁b₂ + ... + a₁b_n +

+ a₂b₁ + a₂b₂ + ... + a₂b_n +

.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .

+ a_nb₁ + a_nb₂ + ... + a_nb_n,

откуда ясно, что она равна произведению

(a₁ + a₂ + ... + a_n)(b₁ + b₂ + ... + b_n)

частичных сумм рядов (56) и (57). Увеличивая n и переходя к пределу, мы и приходим к (60).

     Приведем без доказательства еще два предложения:

     Теорема 5. Если ряды (56) и (57) сходятся и хоть один из них сходится абсолютно, то сходится (хотя и не обязательно абсолютно) и ряд (58), и суммы рядов (56), (57) и (58) связаны равенством (60).

     Теорема 6. Если сходятся все три ряда (56), (57) и (58), то справедливо (60).

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-