решения некоторых задач

     Первый из этих способов приводит к ряду

a₁b₁ + a₁b₂ + a₂b₁ + a₁b₃ + a₂b₂ + a₃b₁ + a₁b₄ + a₂b₅ + ...     (62)

     Объединяя члены ряда (62) в группы из одного, двух, трех и т. д. членов, приходим в точности к ряду (58).

     Рис. 2. приводит к ряду

a₁b₁ + a₁b₂ + a₂b₂ + a₂b₁ + a₁b₃ + a₂b₃ + a₃b₃ + a₃b₂ + ...     (63)

     Все ряды, получаемые расположением элементов матрицы (61) в форме последовательности, получаются друг из друга перестановками членов. Покажем, что все эти ряды сходятся абсолютно. Именно, возьмем какой-нибудь из этих рядов, составим ряд абсолютных величин членов взятого ряда и обозначим через частичную сумму этого ряда абсолютных величин. Если n закреплено, а m достаточно велико, то все слагаемые суммы будут содержаться среди чисел, заполняющих квадрат

Поэтому сумма будет не больше, чем сумма всех чисел, входящих в указанный квадрат, т. е. не больше, чем

(|a₁| + |a₂| + ... + |a_m|)(|b₁| + |b₂| + ... + |b_m|).

     Если обозначить через A^* и B^* суммы рядов, составленных из абсолютных величин членов рядов (56) и (57), то из сказанного ясно, что

Отсюда и следует наше утверждение об абсолютной сходимости рядов, порождаемых матрицей (61).

     В частности, абсолютно сходится и ряд (62). Это означает, что сходится ряд

|a₁b₁| + |a₁b₂| + |a₂b₁| + |a₁b₃| + |a₂b₂| + |a₃b₁| + |a₁b₄| + ...     (64)

     Объединяя члены ряда (64) в группы из одного, двух, трех и т. д. членов, убеждаемся в сходимости ряда

d₁ + d₂ + d₃ + ...,

где

d_n = |a₁b_n| + |a₂b_n-1| + ... + |a_nb₁|.

     Но ведь |c_n| ≤ d_n. Значит, ряд (58) и подавно абсолютно сходится. Остается доказать равенство (60).

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-