решения некоторых задач

     Условие абсолютной сходимости ряда для законности перестановок его членов не только достаточно, но и необходимо. Действительно, имеет место

     Теорема 3. Если ряд (49) сходится неабсолютно, то его члены можно переставить так, чтобы вновь полученный ряд имел любую наперед заданную сумму, а также так, чтобы он расходился.

     Мы не будем останавливаться на доказательстве этого предложения.

     Обратимся теперь к вопросу о перемножении рядов.

     Для того, чтобы перемножить две конечные суммы

A = a₁ + a₂ + ... + a_n,     B = b₁ + b₂ + ... + b_m,

надо умножить каждое слагаемое первой суммы на каждое слагаемое второй суммы и составить сумму всевозможных произведений

a_ib_k     (i = 1, 2, ..., n; k = 1, 2, ..., m).     (55)

     Естественно спросить, переносится ли это правило и в теорию бесконечных рядов? Здесь прежде всего сталкиваемся с тем обстоятельством, что появляется бесконечное множество произведений (55), и потому нам приходится дать какой-либо способ их "сложения". Наиболее удобным является следующее определение:

     Произведением рядов

a₁ + a₂ + a₃ + ...     (56)

и

b₁ + b₂ + b₃ + ...     (57)

называется ряд

c₁ + c₂ + c₃ + ...,     (58)

в котором

c₁ = a₁b₁,   c₂ = a₁b₂ + a₂b₁,   c₃ = a₁b₃ + a₂b₂ + a₃b₁,

и вообще

c_n = a₁b_n + a₂b_n-1 + ... + a_nb₁.     (59)

решения некоторых задач

^*   Это видно из теоремы Лейбница.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-