Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Таким образом, множество частичных сумм положительного ряда (47) ограничено сверху, и этот ряд сходится. Значит, мы доказали, что сходимость положительного ряда от перестановки его членов не нарушается. Чтобы установить неизменность суммы ряда, обозначим сумму ряда (47) через S*. Тогда, переходя к пределу в неравенстве (48), мы найдем S* ≤ S. Это значит, что сумма сходящегося положительного ряда при перестановке его членов не увеличивается. Но тогда уже ясно, что она и не уменьшается, т. к. иначе обратная перестановка приводила бы к увеличению суммы ряда. Теорема доказана. Эта теорема обобщается на любые абсолютно сходящиеся ряды. Теорема 2. От перестановки членов абсолютно сходящегося ряда его абсолютная сходимость не нарушается и сумма не меняется. Абсолютная сходимость ряда a1 + a2 + a3 + ... (49) означает сходимость положительного ряда |a1| + |a2| + |a3| + ... (50) Пусть в результате перестановки своих членов ряд (49) превратится в ряд
Ясно, что ряд абсолютных величин членов ряда (51) получается некоторой перестановкой из ряда (50). Значит, этот ряд абсолютных величин сходится (по предыдущей теореме), а это и означает, что ряд (51) абсолютно сходится. Введем, далее, ряды b1 + b2 + b3 + ..., (52) c1 + c2 + c3 + ..., (53) состоящие из неотрицательных и модулей отрицательных членов ряда (49). Эти ряды сходятся, и их суммы B иC связаны с суммой A ряда (49) формулой A = B - C. (54) Когда производим перестановку членов в ряде (49), то это вызывает соответствующие перестановки в рядах (52) и (53), т. к. в этих рядах порядок членов такой же, как и в (49). Но так как ряды (52) и (53) - положительные, то их суммы B и C от перестановки не меняются. С другой стороны, сумма ряда (51) должна выражаться через суммы рядов, полученных упомянутыми перестановками из (52) и (53), той же формулой (54). Отсюда и видно, что сумма ряда (51) равна сумме ряда (49). -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23- |
(51)