решения некоторых задач

     Из приведенного доказательства теоремы 1 вытекает справедливость и такого предложения:

     Теорема 2. Если ряд (39) сходится абсолютно, то сходятся также ряды (41) и (42), образованные положительными членами и модулями отрицательных членов этого ряда. Суммы всех трех рядов связаны соотношением

A = B - C.     (43)

     Признак сходимости Даламбера переносится в теорию рядов с членами любых знаков в следующей форме:

     Теорема 3. Пусть ряд (39) таков, что существует предел

     Если l < 1, то ряд сходится, а если l > 1, то расходится.

     Действительно, если l < 1, то по признаку Даламбера будет сходиться ряд абсолютных величин членов данного ряда, а значит, и подавно и сам ряд (39). Если же l > 1, то найдется такое m, что при n ≥ m будет

Но тогда

|a_m| < |a_m+1| < |a_m+2| < ...,

и общий член ряда (39) не стремится к нулю, откуда вытекает расходимость этого ряда.

     Примеры применения этой теоремы будут приведены ниже.

     Вопрос о перестановке членов ряда. Умножение рядов.

     Как упоминалось ранее, с чисто формальной точки зрения ряды - это не что иное, как суммы, содержащие бесконечное множество слагаемых. Далее отмечалось, что этой формальной точке зрения не следует придавать слишком большого значения. Хорошей иллюстрацией к этому замечанию может служить вопрос о перестановке членов ряда.

     Одним из самых основных законов арифметики является переместительный закон: "сумма не зависит от порядка слагаемых". Оказывается, что для бесконечных рядов этот закон уже неверен! Покажем это на следующем примере.

     Согласно теореме Лейбница знакочередующийся ряд

     (44)

сходится. Обозначим сумму его через S. Важно отметить, что S ≠ 0, т. к. сумма ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, имеет знак первого члена ряда.

     Образуем теперь ряд из тех же чисел, но располагая их так, чтобы за каждым положительным членом следовало два отрицательных

     (45)

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-