Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Абсолютная сходимость Теперь рассмотрим такие ряды, знаки членов которых уже совершенно произвольны. При этом снова будем обозначать через a1, a2, a3 ... сами члены ряда. Теорема 1. Сопоставим с рядом a1 + a2 + a3 + ... (39) ряд |a1| + |a2| + |a3| + ..., (40) составленный из абсолютных величин членов данного ряда. Если сходится ряд (40), то сходится и исходный ряд (39). В самом деле, пусть ряд b1 + b2 + b3 + ... (41) есть ряд, состоящий из всех положительных (или равных нулю) членов нашего ряда (39) [причем их взаимное расположение таково же, как и в ряде (39)]. Пусть, далее, c1 + c2 + c3 + ... (42) есть ряд* абсолютных величин отрицательных членов ряда (39) (также расположенных в том порядке, в котором эти члены следуют друг за другом в исходном ряде). Каждый из рядов (41) и (42) получается из сходящегося положительного ряда (40) путем вычеркивания части его членов (например, чтобы из (40) получить (41), надо вычеркнуть из (40) числа c1, c2, c3, ...). Поэтому в силу теоремы 4 ряды (41) и (42) сходятся. Обозначим их суммы соответственно через B и C. Обозначим, далее, через An, Bn и Cn частичные суммы рядов (39), (41) и (42). Пусть среди чисел a1, a2, a3, ..., an имеется m(n) неотрицательных и p(n) отрицательных. Тогда An = Bm(n) - Cp(n). Правая часть этого равенства с ростом n стремится к разности B - C. Значит, и левая часть стремится к тому же пределу. Теорема доказана. Заметим, что из сходимости ряда (39) не вытекает, что сходится (40). Например, ряд
сходится (это следует хотя бы из теоремы Лейбница), но ряд, составленный из абсолютных величин, будучи гармоническим, расходится. Таким образом, требование сходимости ряда (40) представляет собой более тяжелое требование, чем требование сходимости ряда (39). В связи с этим такой ряд (39), который не только сходится сам, но для которого и ряд абсолютных величин, называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (39) сходится, но ряд (40) расходится, то говорят, что (39) есть ряд неабсолютно сходящийся. _____________________________________________________ * Считаем, что в (39) имеется бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, т. к. иначе все становится тривиальным. -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23- |
