решения некоторых задач

     Из доказательства теоремы видно, что сумма S_2n стремится к своему пределу S возрастая. Таким образом, S_2n есть значение S по недостатку. Напротив, S_2n+1 есть значение S по избытку. Действительно, из равенств

                              S₁ = a₁,

                              S₃ = a₁ - (a₂ - a₃),

                              S₅ = a₁ - (a₂ - a₃) - (a₄ - a₅),

                              .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

видно, что S₁ > S₃ > S₅ > ..., так что сумма S_2n+1 стремится к S убывая.

     Последние два свойства знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, можно представить и в более наглядной форме. Именно, из того, что S₂ < S < S₁, следует, что

0 < S < a₁.

     Значит, сумма нашего ряда имеет знак его первого члена, а по абсолютной величине меньше этого члена. Но ведь остаток ряда (36) после n-го члена

(-1)ⁿ[a_n+1 - a_n+2 + a_n+3 - ...]

сам тоже есть ряд такого же типа. Поэтому сумма R_n этого остатка имеет знак (-1)ⁿ и |R_n| < a_n+1. Если вспомнить, что

S = S_n + R_n,

то все сказанное можно будет резюмировать так: отбрасывая все члены ряда (36) после n-го и принимая частичную сумму

S_n = a₁ - a₂ + a₃ - ... ± a_n

за сумму S, мы совершаем ошибку^*, которая имеет тот же знак, что и первый отброшенный член (-1)ⁿa_n+1, а по абсолютной величине меньше его.

     Это свойство рядов, удовлетворяющих условиям теоремы Лейбница, позволяет уверенно применять такие ряды в приближенных подсчетах.

     Пусть, например,

     Ограничиваясь выписанными членами для нахождения суммы этого ряда, мы сделаем отрицательную ошибку, по абсолютной величине меньшую, чем

решения некоторых задач

^*   Называем ошибкой число, которое надо прибавить к S_n, чтобы получить S (т. е. R_n).

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-