Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Ряды / Ряды с постоянными членами / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Знакочередующиеся ряды Переходя к рассмотрению рядов, члены которых уже не обязательно положительны, остановимся сначала на одном важном частном типе этих рядов - на рядах знакочередующихся, теория которых сравнительно проста. Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена суть числа разных знаков. Несколько изменяя употреблявшуюся выше символику, будем обозначать через an не сам общий член ряда, а его абсолютную величину. Тогда, предполагая для определенности, что первый член знакочередующегося ряда положителен, мы сможем записать этот ряд в форме* a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ... (36) Теорема Лейбница. Если абсолютная величина общего члена знакочередующегося ряда убывает и стремится к нулю, то этот ряд сходится. Действительно, допустим, что ряд (36) таков, что a1 > a2 > a3 > a4 > ..., (37)
Образуем частичные суммы S2n: S2 = (a1 - a2), S4 = (a1 - a2) + (a3 - a4), S6 = (a1 - a2) + (a3 - a4) + (a5 - a6), . . . . . . . . . . . . . . Благодаря (37), все скобки положительны. Значит, S2 < S4 < S6 < ... Иначе говоря, последовательность {S2n} возрастает. С другой стороны, S2n = a1 - (a2 - a3) - (a4 - a5) - ... - (a2n-2 - a2n-1) - a2n, откуда ясно, что S2n < a1. Как известно, при этих условиях существует конечный предел
Но S2n+1 = S2n + a2n+1, откуда в связи с (38) вытекает, что сумма S2n+1 с возрастанием n также стремится к S. Итак, при достаточно больших n сумма Sn будет сколь угодно близка к S независимо от четности n. Иначе говоря,
чем и доказана теорема. Заметим, что теорема перестает быть верной, если отбросить условие убывания an. Например, знакочередующийся ряд
как легко видеть, расходится**. _____________________________________________________ * Строго говоря, введение этой записи представляет новое соглашение, т. к. согласно определению ряда мы должны вместо (36) писать a1 + (-a2) + a3 + (-a4) + ... ** В самом деле, у этого ряда -1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23- |
(38)
. Первая скобка неограниченно растет, а вторая не больше, чем 
.