решения некоторых задач

     Если каждый член положительного ряда не больше, чем имеющий тот же номер член другого ряда, то второй ряд называется мажорантным по отношению к первому.

     Иначе говоря, ряд

b₁ + b₂ + b₃ + ...

является мажорантным по отношению к ряду

a₁ + a₂ + a₃ + ...,

если при всех n будет

a_n ≤ b_n.

     Легко понять, что частичная сумма данного ряда не больше, чем (имеющая тот же номер) частичная сумма ряда мажорантного. Значит, если ограничены сверху частичные суммы мажорантного ряда, то это и подавно так для исходного ряда. Отсюда вытекает

     Теорема 2. Если для положительного ряда существует сходящийся мажорантный ряд, то и сам этот ряд сходится. Если же данный ряд расходится, то расходится и всякий мажорантный для него ряд.

     Рассмотрим, например, ряд

     (27)

предполагая α < 1. Ясно, что этот ряд - мажорантный по отношению к гармоническому ряду, и потому ряд (27) расходится.

     Исследование сходимости какого-либо ряда при помощи теоремы 2 наталкивается на необходимость нахождения другого ряда, поведение которого в отношении его сходимости нам известно и с которым мы хотим сравнить наш исходный ряд. Нахождение такого "ряда сравнения" в значительной степени зависит от проницательности исследователя, и в этом существенный недостаток признака сравнения. Существуют признаки сходимости, носящие гораздо более алгорифмический характер. Остановимся только на одном из таких признаков - на признаке Даламбера.

     Лемма 1. Если строго положительный ряд

a₁ + a₂ + a₃ + ...     (28)

таков, что при всех n оказывается

то этот ряд расходится.

     В самом деле, здесь a_n+1 > a_n, т. е. общий член ряда возрастает с увеличением своего номера и не может стремиться к нулю. Иначе говоря, не выполнено необходимое условие сходимости ряда.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-