решения некоторых задач

Ряды с постоянными членами

     Рядом называется выражение вида

a₁ + a₂ + a₃ + ...,     (1)

в котором a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... (члены ряда) суть определенные числа, закон построения которых известен.

     Иногда ряд (1) записывают в форме

     (2)

     Самой важной стороной дела при образовании выражения вида (1) является то многоточие, которое поставлено в конце этого выражения. Оно показывает, что множество чисел a_k, участвующих в определении ряда (1), обязательно бесконечно. Таким образом, с чисто формальной точки зрения, ряды - это суммы, содержащие бесконечное число слагаемых.

     Первый вопрос, возникающий при рассмотрении подобных выражений, заключается в том, имеют ли они какое-либо числовое значение. Оказывается, что приписать разумным образом такое значение удается далеко не всем, а лишь так называемым сходящимся рядам (в более высоких частях теории оказывается возможным и некоторым расходящимся рядам придавать числовое значение).

     Пусть дан ряд (1). Образуем последовательность чисел S₁, S₂, S₃, ..., полагая

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n     (n = 1, 2, 3, ...).

Эти числа называются частичными суммами ряда (1).

     Если существует конечный предел

     (3)

то говорят, что ряд (1) сходится, а предел (3) называется его суммой. Если же предела (3) не существует или он бесконечен, то ряд (1) называется расходящимся.

     Таким образом, сумма ряда - это (конечный) предел последовательности его частичных сумм.

     Если ряд (1) имеет сумму S, то пишут

S = a₁ + a₂ + a₃ + ...,

или

     Если же ряд расходится, то ему не приписывают никакого числового значения (в более высоких частях теории оказывается возможным и некоторым расходящимся рядам придавать числовое значение).

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-