Примеры вычисления площадей

     1°. Найти площадь P фигуры F, ограниченной графиками функций y = x^α и x = y^α, α ≥ 1 (см. Рис. 4).

Поскольку фигура F симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то ее площадь может быть получена посредством вычитания из 1 (площадь квадрата) удвоенной площади криволинейной трапеции, определяемой графиком функции y = x^α на сегменте [0, 1]. Таким образом, по формуле (1)

     2°. Через три точки с координатами (-h, y₀), (0, y₁), (h, y₂) проходит только одна парабола y = Ax² + Bx + D (или прямая, если эти точки лежат на одной прямой). Действительно, система уравнений относительно A, B, D^*

Ah² - Bh + D = y₀,
                   D = y₁,
Ah² + Bh + D = y₂ 

имеет единственное решение. Именно:

-1-2-3-4-5-6-7-

^*   Эти уравнения представляют собой условия расположения точек (-h, y₀), (0, y₁) и (h, y₂) на параболе y = Ax² + Bx + D.