Площадь криволинейного сектора

     Пусть кривая L задана в полярной системе координат уравнением r = r(θ), α ≤ θ ≤ β (см. Рис. 3), причем функция r(θ) непрерывна и неотрицательна на сегменте [α, β]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α и β, будем называть криволинейным сектором.

     Докажем следующее утверждение. Криволинейный сектор представляет собой квадрируемую фигуру, площадь P которой может быть вычислена по формуле

     (2)

     Доказательство. Рассмотрим разбиение T сегмента [α, β] точками α = θ₀ < θ₁ < ... < θ_n = β и для каждого частичного сегмента [θ_i-1, θ_i] построим круговые секторы, радиусы которых равны минимальному r_i и максимальному R_i значениям r(θ) на сегменте [θ_i-1, θ_i]. В результате получим две веерообразные фигуры, первая из которых содержится в криволинейном секторе, а вторая содержит криволинейный сектор (эти веерообразные фигуры изображены на Рис. 3). Площади и указанных веерообразных фигур равны соответственно и . Отметим, что первая из этих сумм является нижней суммой s для функции для указанного разбиения T сегмента [α, β], а вторая сумма является верхней суммой S для этой же функции и этого же разбиения. Так как функция интегрируема на сегменте [α, β], то разность может быть как угодно малой. Например, для любого фиксированного ε > 0 эта разность может быть сделана меньше ε/2. Впишем теперь во внутреннюю веерообразную фигуру многоугольник Q_i с площадью S_i, для которого , и опишем вокруг внешней веерообразной фигуры многоугольник Q_d площадью S_d, для которого ^*. Очевидно, первый из этих многоугольников вписан в криволинейный сектор, а второй описан вокруг него. Так как справедливы неравенства

     (3)

то, очевидно, S_d - S_i < ε. В силу произвольности ε, отсюда вытекает квадрируемость криволинейного сектора. Из неравенств (3) вытекает справедливость формулы (2).

-1-2-3-4-5-6-7-

^*   Рассматриваемые веерообразные фигуры состоят из круговых секторов. Каждый сектор квадрируем, и поэтому квадрируемы и веерообразные фигуры. Поэтому для этих фигур можно найти многоугольники, площади S_i и S_d которых удовлетворяют указанным неравенствам.