Формулы / Площадь плоской фигуры / 1 2 3 4 5 6 7
Установим достаточный признак квадрируемости плоской фигуры.
Теорема 2. Если граница L плоской фигуры Q представляет собой спрямляемую кривую, то фигура Q квадрируема.
Доказательство. Пусть l* - длина кривой L. Будем считать, что кривая L параметризована с помощью натурального параметра l, 0 ≤ l ≤ l*, причем, поскольку кривая L замкнута, ее граничные точки, отвечающие значениям 0 и l* параметра l, совпадают. Пусть ε - произвольное положительное число. Разобъем сегмент [0, l*] точками 0 = l0 < l1 < ... < ln = l* на n равных частей длины меньше ε/9l*. Рассмотрим ломаную M0M1 ... Mn (M0 = Mn), вписанную в кривую L и отвечающую указанному разбиению сегмента [0, l*]. Точки M0, M1, ..., Mn разбивают кривую L на части L1, L2, ..., Ln, длины которых равны (l*/n) < (ε/9l*). Очевидно, длины звеньев Mi-1Mi указанной выше ломаной M0M1 ... Mn не больше l*/n. Поместим каждое звено Mi-1Mi внутрь квадрата со стороной 3l*/n так, как это указано на Рис. 1.
Легко убедиться, что дуга Li, стягиваемая звеном Mi-1Mi, располагается внутри этого квадрата, т. к. расстояние от любой точки, расположенной вне или на границе этого квадрата, до каждой из точек Mi-1 и Mi не меньше l*/n, и поэтому, если бы какая-либо точка M дуги Li была вне или на границе указанного квадрата, то вписанная в эту дугу ломаная Mi-1MMi имела бы длину, не меньшую 2l*/n, т. е. большую, чем длина l*/n дуги Li, чего не может быть. Объединение всех таких квадратов, построенных на всех звеньях ломаной M0M1 ... Mn, представляет собой многоугольную фигуру, содержащую кривую L, причем очевидно, что граница этой фигуры представляет собой объединение границ вписанного в фигуру Q многоугольника и описанного вокруг Q многоугольника. Очевидно также, что разность Sd - Si площадей этих многоугольников равна площади указанной фигуры, а площадь этой фигуры не превосходит суммы S площадей описанных выше квадратов. Так как (последнее неравенство следует из того, что ), то Sd - Si < ε. Поэтому, согласно теореме 1, фигура Q квадрируема. Теорема доказана.
-1-2-3-4-5-6-7-
|
|