Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью . При этом число называется площадью фигуры Q.

     Справедлива следующая теорема.

     Теорема 1. Для того чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε можно было указать такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоугольник, разность S_d - S_i площадей которых была бы меньше ε, S_d - S_i < ε.

     Доказательство.

     1) Необходимость. Пусть фигура Q квадрируема, т. е. . Так как и - точные верхняя и нижняя грани множеств {S_i} и {S_d}, то для любого числа ε > 0 можно указать такой вписанный в фигуру Q многоугольник, площадь S_i которого отличается от меньше чем на ε/2, т. е. P - S_i < ε/2. Для этого же ε > 0 можно указать такой описанный многоугольник, площадь S_d которого отличается от меньше чем на ε/2, т. е. S_d - P < ε/2. Складывая полученные неравенства, найдем, что S_d - S_i < ε.

     2) Достаточность. Пусть S_d и S_i - площади многоугольников, для которых S_d - S_i < ε. Так как , то . В силу произвольности ε отсюда вытекает, что . Таким образом, фигура квадрируема. Теорема доказана.

     Будем говорить, что граница плоской фигуры Q имеет площадь, равную нулю, если для любого положительного ε > 0 можно указать такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоугольник, разность S_d - S_i площадей которых меньше ε. Очевидно, теорему 1 можно также сформулировать следующим образом.

     для того чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела площадь, равную нулю.

     Замечание. Во всех приведенных нами рассуждениях вместо плоской фигуры можно рассматривать произвольное множество точек плоскости.

-1-2-3-4-5-6-7-