Докажем, теперь, что отрезки двух касательных, проведенных из одной точки к параболе, заключенные между этой точкой и точками касания, видны из фокуса параболы под равными углами. Действительно, пусть PT₁ и PT₂ - касательные, T₁ и T₂ - точки касания (см. Рис. 9).

Отразим фокус F относительно касательных и полученные точки N₁ и N₂ соединим с точками Т₁ и Т₂. С другой стороны, в силу симметрии относительно прямой, проведенной через точку P перпендикулярно к директрисе. Следовательно, , что и требовалось установить.

     Докажем, наконец, что отрезок касательной к параболе, заключенный между точкой касания и осью параболы, делится касательной в вершине пополам.

     Действительно, пусть касательная t в точке M к параболе пересекает ось параболы в точке S, а касательную y в вершине - в точке R (см. Рис. 10).

Треугольник FMP является равнобедренным и MR - биссектрисой угла FMP. Следовательно, четырехугольник PMFS является ромбом и SR = RM.

     Укажем построение касательных к параболе, проведенных из точки P. Соединяем точку P с фокусом параболы на отрезке PF, как на диаметре, строим окружность, пересекающую касательную y в точках N₁ и N₂ (см. Рис. 11). Прямые PN₁ и PN₂ являются касательными к параболе. Действительно, касательная, проведенная к параболе из точки N₁, перпендикулярна к N₁F и, следовательно, она проходит через точку P.

-1-2-3-4-5-6-