Парабола

     Форма параболы. Уравнение параболы. Парабола однозначно определяется своим фокусом F и директрисой f. Перпендикуляр x ≡ FD, опущенный из фокуса на директрису, называют осью параболы, а расстояние p от фокуса до директрисы - ее параметром (см. Рис. 1).

Из определения параболы как геометрического места точек, равноудаленных от F и f, следует, что парабола симметрична относительно своей оси, причем ось x имеет с параболой лишь одну общую точку O - середину отрезка FD. Точка O называется вершиной параболы.

     Проведем через точку O прямую y, перпендикулярную к оси x. Очевидно, что кроме точки O на прямой y других точек параболы нет, т. к. для всякой точки P прямой y, отличной от O, расстояние r до фокуса больше , расстояние PP₁ = d до директрисы равно и, значит, r : d > 1, т. е. точка P не принадлежит параболе. Для всякой точки P плоскости, расположенной с фокусом F по разные стороны от директрисы, r > d, и поэтому в этой полуплоскости точек параболы нет. Следовательно, точки параболы расположены по ту сторону от прямой y, с которой расположен фокус параболы. В силу симметрии всякая прямая, параллельная прямой y и имеющая с параболой одну общую точку, имеет с ней и другую общую точку и лишь прямая y имеет одну общую точку с параболой. Вследствие этого прямую y называют касательной к параболе в ее вершине.

     Примем теперь ось параболы x за ось абсцисс, а касательную y в вершине - за ось ординат прямоугольной системы координат. Пусть M(x, y) - произвольная точка параболы (см. Рис. 1). Тогда

и из равенства r² = d² следует, что

y² = 2px.     (1)

-1-2-3-4-5-6-