Итак, пусть окружность S радиуса r касается окружности S₁ радиуса r₁ и окружности (или прямой) S₂ (см. Рис. 15, а, б). Заменим окружность S концентрической с ней окружностью S' радиуса , где знак "плюс" соответствует случаю внешнего касания окружностей S и S', а знак "минус" - случаю внутреннего касания. Ясно, что окружность S' будет проходить через центр Q₁ окружности S₁ и будет касаться концентрической с S₂ окружности , радиус которой равен , где r₂ - радиус окружности S₂ (или касаться параллельной S₂ прямой , отстоящей от S₂ на расстояние r₁; см. Рис. 15, а, б). Другими словами, мы производим расширение на величину r₁. Таким образом, отыскание множества центров всевозможных окружностей S естественно сводится к отысканию множества центров всевозможных окружностей S', проходящих через данную точку Q₁ и касающихся данной окружности (или прямой) . При этом можно считать, что точка Q₁ не принадлежит окружности (или прямой) , так как в последнем случае множество центров окружностей S', очевидно, представляет собой прямую (см. Рис. 16, а, б). Но в таком случае остается рассмотреть следующие три случая.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-