В случае гиперболы (см. Рис. 11, б), выбрав точку M на той поле конуса, в которую вписан шар K₂, получаем:

MF₁ - MF₂ = ME₁ - ME₂ = E₁E₂ = 2a = const.

     Если же точка M принадлежит той поле конуса, в которую вписан шар K₁, то

MF₂ - MF₁ = ME₂ - ME₁ = E₂E₁ = 2a = const.

     Поэтому гиперболу можно определить как множество таких точек M, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух фиксированных точек F₁ и F₂ постоянна:

|MF₁ - MF₂| = 2a = const

(здесь 2a равно расстоянию по образующей конуса между окружностями S₁ и S₂).

     Доказанные свойства эллипса и гиперболы называются их фокальными свойствами; они могут быть положены в основу определения этих кривых. Фокальное свойство эллипса легко вывести и из определения этой кривой как плоского сечения цилиндра. В самом деле, впишем в цилиндр два шара K₁ и K₂, касающихся в точках F₁ и F₂ плоскости π, пересекающей цилиндр по эллипсу, и соединим произвольную точку M эллипса с точками F₁ и F₂ (см. Рис. 12).

Проведем еще через точку M образующую E₁E₂ цилиндра, пересекающую в точках E₁ и E₂ окружности S₁ и S₂, по которым касаются цилиндра шары K₁ и K₂. Отрезки MF₁ и ME₁, MF₂ и ME₂ равны как отрезки касательных, проведенных к K₁ и K₂ из одной точки M; поэтому

MF₁ + MF₂ = ME₁ + ME₂ = E₁E₂ = 2a = const,

где 2a - расстояние по образующей цилиндра между окружностями S₁ и S₂.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-