Фокальные свойства эллипсов и гипербол. В случае β = α существует единственный вписанный в конус шар K, касающийся плоскости π (см. Рис. 8, б). Однако если β ≠ α, то можно построить два таких шара, которые теперь обозначим через K₁ и K₂; точки их касания с плоскостью π (являющиеся фокусами соответствующего конического сечения) обозначим через F₁ и F₂, а окружности, по которым шары касаются конуса, через S₁ и S₂ (см. Рис. 11, а, б).

Произвольную точку M эллипса или гиперболы соединим с фокусами F₁ и F₂ и с вершиной O конуса; пусть E₁ и E₂ - точки пересечения образующей OM конуса с окружностями S₁ и S₂. При этом MF₁ = ME₁ и MF₂ = ME₂ (как отрезки касательных, проведенных к K₁ и K₂ из одной точки M). Далее, в случае эллипса (см. Рис. 11, а)

MF₁ + MF₂ = ME₁ + ME₂ = E₁E₂.

Но расстояние E₁E₂ по образующей конуса между окружностями S₁ и S₂ не зависит, очевидно, от выбора точки M; обозначим это расстояние через 2a. Отсюда следует, что эллипс можно определить также как множество таких точек M, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек F₁ и F₂ постоянна:

MF₁ + MF₂ = 2a = const.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-