Это свойство конических сечений называют их директориальным свойством. Ясно, что если β > α, то ε < 1; если β = α, то ε = 1; наконец, если β < α, то ε > 1. С другой стороны, нетрудно видеть, что если β > α, то плоскость π пересекает конус по замкнутой ограниченной линии; если β = α, то плоскость π пересекает конус по неограниченной линии; если β < α, то плоскость π пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (см. Рис. 9).

Коническое сечение, для которого ε < 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом ε = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого ε > 1, называется гиперболой. К числу эллипсов относят также окружность, которую нельзя задать директориальным свойством; так как для окружности отношение обращается в 0 (т. к. в этом случае β = 90º), то условно считают, что окружность представляет собой коническое сечение с эксцентриситетом 0.

     Теперь уже нетрудно доказать, что плоские сечения прямого кругового цилиндра также представляют собой эллипсы. В самом деле, пусть плоскость π образует с осью цилиндра угол β < 90º (см. Рис. 10). Впишем в цилиндр шар K, касающийся плоскости π в точке F, а цилиндра - по окружности S; через f обозначим линию пересечения плоскости σ окружности S и плоскости π. Соединим произвольную точку M пересечения плоскости π с цилиндром с точкой F и опустим из M перпендикуляр MP на прямую f; пусть, кроме того, проходящая через точку M образующая ME цилиндра пересекает окружность S в точке E. При этом MF = ME (как отрезки касательных, проведенных к K из одной точки M); с другой стороны, из прямоугольного треугольника MPE с острым углом получаем . Отсюда заключаем, что

Таким образом, сечение цилиндра плоскостью π представляет собой коническое сечение с фокусом F, директрисой f и эксцентриситетом cos β < 1, т. е. является эллипсом.

     Нетрудно показать, что все эллипсы можно получить как плоские сечения цилиндров вращения.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-