Директориальное свойство конических сечений.

     Здесь мы докажем, что каждое отличное от окружности (невырожденное) коническое сечение можно определить как множество точек M, отношение расстояния MF которых от фиксированной точки F к расстоянию MP от фиксированной прямой f, не проходящей через точку F, равно постоянной величине ε:

Точка F называется фокусом конического сечения, прямая f - его директрисой, а отношение ε - эксцентриситетом.

     (Если точка F принадлежит прямой f, то условие определяет множество точек, представляющее собой пару прямых (см. Рис. 7, а), т. е. вырожденное коническое сечение; при ε = 1 эта пара прямых сливается в одну прямую (см. Рис. 7, б).)

     Для доказательства рассмотрим конус, образованный вращением прямой l вокруг пересекающей ее в точке O прямой p, составляющей с l угол α < 90º; пусть плоскость π не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол β < 90º (см. Рис. 8, а-в; если β = 90º, то плоскость π пересекает конус по окружности). Впишем в конус шар K, касающийся плоскости π в точке F и касающийся конуса по окружности S. Линию пересечения плоскости π с плоскостью σ окружности S обозначим через f. Теперь соединим произвольную точку M, лежащую на линии Λ пересечения плоскости π и конуса, с вершиной O конуса и с точкой F и опустим из M перпендикуляр MP на прямую f; обозначим еще через E точку пересечения образующей MO конуса с окружностью S. При этом MF = ME, как отрезки двух касательных шара K, проведенных из одной точки M. Далее, отрезок ME образует с осью p конуса постоянный (т. е. не зависящий от выбора точки M) угол α, а отрезок MP - постоянный угол β; поэтому проекции этих двух отрезков на ось p соответственно равны ME cos α и MP cos β. Но эти проекции совпадают, так как отрезки ME и MP имеют общее начало M, а концы их лежат в плоскости σ, перпендикулярной к оси p. Поэтому ME cos α = MP cos β, или, поскольку ME = MF,

MF cos α = MP cos β,

откуда и следует, что

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-