Нетрудно видеть, что любые эллипс, гиперболу или параболу можно описать как множество центров окружностей S', проходящих через фиксированную точку Q₁ и касающихся фиксированной окружности или прямой . Таким образом, невырожденные конические сечения можно определить как линии, представляющие собой множество центров всевозможных окружностей, проходящих через данную точку и касающихся данной окружности (или прямой), не проходящей через эту точку.

     Аналитическое определение конических сечений. В курсах аналитической геометрии доказывается, что среди линий, записываемых в декартовых прямоугольных (или даже в общих аффинных) координатах общим уравнением второй степени

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0

(где хотя бы один из коэффициентов A, B, C отличен от нуля) встречаются лишь следующие восемь типов линий: а) эллипс; б) гипербола; в) парабола (невырожденные кривые второго порядка); г) пара пересекающихся прямых; д) пара параллельных прямых; е) пара совпавших прямых (одна прямая); ж) одна точка (вырожденные линии второго порядка); з) "линия", совсем не содержащая точек.

     Обратно, любая линия каждого из указанных восьми типов записывается в декартовых прямоугольных координатах некоторым уравнением второго порядка. (В курсах аналитической геометрии обычно говорят о девяти (а не о восьми) типах конических сечений, поскольку там различают "мнимый эллипс" и "пару мнимых параллельных прямых" (см. Рис. 6, в, б), - геометрически эти "линии" одинаковы, поскольку обе не содержат ни одной точки, но аналитически они записываются разными уравнениями.) Поэтому (вырожденные и невырожденные) конические сечения можно определить также как линии второго порядка.

     Таким образом, мы имеем целый ряд равноправных определений конических сечений, каждое из которых можно положить в основу их теории; наряду с этим существуют и многие другие определения этих замечательных линий. Наиболее важными являются последнее (аналитическое) и первое (стереометрическое) определения. Важность первого определения связана с тем, что оно показывает проективную эквивалентность любого невырожденного конического сечения обыкновенной окружности, т. е. оно дает описание конических сечений как линий, получающихся из окружности центральным проектированием в пространстве (или проективным преобразованием плоскости). Однако стереометрический характер первого определения делает его довольно неудобным для геометрического анализа свойств конических сечений; что же касается последнего (аналитического) определения, то оно явно относится к аналитической, а не к элементарной геометрии. Поэтому далее будем везде понимать под коническим сечением множество таких точек M, что отношение расстояния MF от точки M до фиксированной точки F (фокуса) к ее расстоянию MP до фиксированной прямой f (директрисы) имеет постоянное значение ε (называемое эксцентриситетом кривой):

Другими словами, в основу всего дальнейшего изложения положим директориальное свойство конических сечений. В зависимости от того, является ли эксцентриситет ε меньшим 1, равным 1 или большим 1, будем называть рассматриваемую линию эллипсом, параболой или гиперболой; при этом к числу эллипсов будем условно причислять и обыкновенную окружность, считая, что ее эксцентриситет равен нулю.

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-