решения некоторых задач

     Теперь нетрудно доказать сформулированную выше теорему. Пусть s, S и σ суть суммы, отвечающие какому-либо способу дробления (разумеется, для построения суммы σ надо указать еще точки ξ_k). Из (5) и (8) следует, что

| σ - I | ≤ S - s.     (9)

     С другой стороны, функция f(x), будучи непрерывной на замкнутом промежутке [a, b], оказывается и равномерно непрерывной на этом промежутке. Значит, для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что как только |x" - x'| < δ (причем x' и x" взяты из [a, b]), так сейчас же

     Предположим, что нами рассматривается такой способ дробления, у которого λ < δ. Тогда, очевидно,

и потому

     Отсюда и из (9) следует, что

| σ - I | < ε.     (10)

     Итак, для любого ε > 0 существует δ > 0, что при любом способе дробления, у которого λ < δ, оказывается выполненным неравенство (10) (как бы не выбирать точки ξ_k). Но это и означает, что

так что I и есть интеграл от функции f(x). Теорема доказана.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-