решения некоторых задач

     Теорема. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то интеграл

существует.

     Доказательство этой теоремы довольно сложно, и мы предпошлем ему некоторые вспомогательные соображения.

     Пусть на [a, b] задана непрерывная функция f(x). Разобъем [a, b] на части точками

a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n-1 < x_n = b

и обозначим через M_k и m_k наибольшее и наименьшее значения f(x) на частичном промежутке [x_k, x_k+1]. Суммы

называются соответственно верхней и нижней интегральными суммами (отвечающими выбранному способу дробления).

     Введение этих сумм вызвано тем обстоятельством, что они полностью определяются способом дробления [a, b], в то время как для определения суммы σ надо задать еще точки ξ_k.

     Легко видеть, что при выбранном способе дробления и при любом выборе точек ξ_k будет

s ≤ σ ≤ S.     (5)

     Лемма. Пусть промежуток [a, b] раздроблен на части точками x₀ = a < x₁ < x₂ < ... < x_n = b, и составлены суммы S и s, отвечающие этому способу дробления. Если добавим новые точки дробления (сохраняя старые) и снова составим верхнюю и нижнюю суммы S' и s', то окажется

s ≤ s' ≤ S' ≤ S.

     Другими словами, от добавления новых точек деления нижняя интегральная сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

     Доказательство проведем лишь для верхних сумм. Очевидно, достаточно рассмотреть тот случай, когда вводится только одна новая точка деления , т. к. общий случай приводится к этому путем повторного введения по одной точке.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-