решения некоторых задач

     2) В каждом частичном промежутке [x_k, x_k+1] выберем по точке ξ_k и вычислим f(ξ_k).

     3) Умножим f(ξ_k) на длину (x_k+1 - x_k) соответствующего промежутка [x_k, x_k+1].

     4) Сложим все найденные произведения. Сумму

будем называть интегральной суммой.

     5) Будем изменять произведённое дробление [a, b] так, чтобы величина λ стремилась к нулю.

     Если при этом существует конечный предел

     (4)

не зависящий от выбора точек ξ_k, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b] и обозначается через

     Точный смысл соотношения (4) таков: всякому ε > 0 отвечает такое δ > 0, что при любом способе дробления, у которого λ < δ, будет

| σ - I | < ε,

как бы при этом ни были выбраны точки .

     Предельное соотношение (4) имеет довольно своеобразный характер.

     Отдадим себе отчет в том, для каких функций введенное понятие оказывается достаточно естественным.

     Если у функции f(x) существует интеграл (в этом случае говорят, что f(x) интегрируема), то это означает, что суммы σ, отвечающие дроблениям с достаточно малым λ, будут близки к некоторому постоянному числу, как бы ни выбирать точки ξ_k. Поэтому, меняя точки ξ_k, не будем существенно изменять величины суммы σ. Но это возможно лишь за счет того, что изменение точек ξ_k не вызывает заметного изменения чисел f(ξ_k) (по крайней мере в большинстве слагаемых суммы σ). Для функций непрерывных указанное обстоятельство и в самом деле имеет место, т. к. точки ξ_k могут изменяться лишь в коротких промежутках [x_k, x_k+1], а у непрерывных функций близким значениям аргумента отвечают близкие же значения функции. Поэтому естественно ожидать, что у непрерывной функции определенный интеграл существует. Если же функция f(x) разрывна, то, вообще говоря, нет оснований ожидать у нее существования интеграла. Изложенные соображения подтверждаются следующей теоремой:

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-