решения некоторых задач

     Разделим [a, b] точками a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n-1 < x_n = b и пусть λ = max(x_k+1 - x_k). Прямые x = x_k разбивают нашу трапецию на n узких полос. Так как функция f(x) непрерывна, то она мало меняется при x_k ≤ x ≤ x_k+1 и без большой погрешности ее можно считать на промежутке [x_k, x_k+1] постоянной и равной f(ξ_k), где ξ_k есть произвольно взятая точка промежутка [x_k, x_k+1]. Легко видеть, что сделанное допущение равносильно тому, что мы принимаем вышеупомянутые полосы за прямоугольники, а всю нашу трапецию - за ступенчатую фигуру, изображенную на рис. 4.

     Площадь этой ступенчатой фигуры, очевидно, равна

     Естественно считать, что эта площадь при малом λ является приближенным значением интересующей нас площади F. Поэтому по определению будем называть площадью нашей криволинейной трапеции предел

     (3)

причем, однако, здесь подлежит доказательству существование этого предела (в предыдущих двух случаях существование этого предела считали очевидным, т. к. масса m и путь s - это заведомо существующие физические величины).

     Сравнивая выражения (1), (2) и (3), полученные в процессе решения рассмотренных задач, замечаем, что с чисто аналитической точки зрения все эти выражения совершенно одинаковы. Поэтому займемся изучением этих выражений, называемых определенными интегралами, уже не интересуясь их конкретным истолкованием.

     Определенный интеграл

     Дадим теперь точное определение понятия определенного интеграла.

     Пусть на замкнутом промежутке [a, b] задана функция f(x). Проделаем следующие операции:

     1) Раздробим [a, b] на части точками

x₀ = a < x₁ < x₂ < ... < x_n-1 < x_n = b,

причем наибольшую из разностей x_k+1 - x_k обозначим через λ.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-