решения некоторых задач

Поэтому существует такая точка ξ, что

и равенство (6) принимает вид

     (35)

     Это - "большая формула средних прямоугольников с остаточным членом". Отбрасывая последнее слагаемое, получим приближенную формулу средних прямоугольников:

     (36)

     Из изложенного ясно, что абсолютная величина ошибки этой формулы не больше, чем

     (37)

где K = max | f"(x) |.

     Величина (37) с возрастанием n стремится к нулю и потому

     Эта последняя формула, впрочем, верна вообще для всех интегрируемых функций^*, но лишь для функций с непрерывной второй производной можем оценить достигнутую (при заданном n) точность.

     В заключение остановимся на вопросе о фактическом нахождении численных значений первообразной для непрерывной функции в том случае, когда эта первообразная не выражается элементарно. Легко видеть, что теперь мы имеем возможность находить эти значения. Действительно, пусть f(x) есть непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b]. Остановим свое внимание на той ее первообразной, которая дается формулой

     (38)

(всякая другая получается из нее прибавлением той или иной постоянной). Чтобы вычислить функцию для какого-либо x, надо вычислить интеграл, стоящий в равенстве (40), а это мы теперь уже умеем делать. Правда, чтобы получаемый результат был в какой-нибудь степени надежен, надо уметь оценить его погрешность. Для произвольной непрерывной функции мы не располагаем способом оценки погрешности, но для функции с непрерывной второй производной такой способ у нас есть. В частности, поставленный вопрос решается до конца тогда, когда f(x) есть элементарная функция (с непрерывной второй производной).

решения некоторых задач

^*   Действительно, есть интегральная сумма, отвечающая дроблению [a, b] точками

и выбору точек

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-