Cправочник математических формул
Примеры и задачи с решениями
Алфавитный указатель а б в г д е ж з и к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ э ю я
• Примеры решения задач
• Некоторые постоянные
• Элементарная геометрия
• Геометрические преобразования
• Начала анализа и алгебры
• Уравнения и неравенства
• Аналитическая геометрия
• Высшая алгебра
• Дифференциальное исчисление
• Дифференциальная геометрия
• Интегральное исчисление
• Комплексный анализ
• Элементы теории поля
• Тензорное исчисление
• Дифференциальные уравнения
• Математическая логика
• Теория вероятностей и
математическая статистика
|
Примеры решения задач / Интегральное исчисление / Определенные интегралы / 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Пример 3.
Тогда
Формула Валлиса С помощью результатов предыдущих пунктов можно вывести интересное выражение для числа π. Рассмотрим интеграл
где n - целое и неотрицательное число. Легко видеть, что
Предположим теперь, что n > 1. Тогда, интегрируя по частям, находим:
Так как первый член правой части равен нулю, то
Отсюда Un = (n - 1)(Un-2 - Un) и, стало быть,
Допустим, что n - число нечетное. Если n - 2 > 1, то можем снова написать формулу (25), изменив n на n-2, что дает
Так можно продолжать до тех пор, пока не придем к равенству
-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27- |
(25)
