решения некоторых задач

     II. Задача о пройденном пути

     Пусть точка M движется по прямой, обладая скоростью v. Эта скорость меняется с течением времени и потому является функцией от времени t, v = v(t). Поставим задачу - найти путь s, пройденный точкой за промежуток времени от момента t = a до момента t = b.

     При решении задачи будем считать скорость v(t) непрерывной функцией t. Переходя к решению, разделим [a, b] точками t₁ < t₂ < ... < t_n-1 (a < t_k < b) на n коротких промежутков времени. Для единообразия положим еще t₀ = a, t_n = b и пусть λ = max{t_k+1 - t_k}.

     Так как за короткий промежуток времени [t_k, t_k+1] со скоростью v(t) (будучи непрерывной функцией) почти не меняется, то можно приближенно считать ее за этот промежуток времени постоянной и равной v(τ_k), где . С точки зрения механики это означает, что мы считаем движение точки за время [t_k, t_k+1] равномерным. Но тогда путь, пройденный точкой за это время, очевидно, равен v(τ_k)(t_k+1 - t_k), а путь, пройденный за все время [a, b], будет

     Полученное выражение для s, будучи лишь приближенным, оказывается тем более точным, чем меньше λ. Поэтому точное значение пути s таково:

     (2)

     III. Задача о площади криволинейной трапеции

     Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную линиями y = 0, x = a, x = b и y = f(x), где f(x) есть непрерывная положительная функция, заданная при a ≤ x ≤ b (см. рис. 3). Такая фигура называется криволинейной трапецией. Поставим вопрос о площади F этой трапеции.

     Отметим, что здесь, а отличие от двух рассмотренных выше задач, речь должна идти прежде всего о самом определении того, что такое площадь, и лишь затем - о нахождении ее численного значения. Нижеприводимое рассуждение освещает оба эти момента.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-