решения некоторых задач

     Приведем несколько примеров:

     1)

     2)

     3)

     Само собой разумеется, что все приемы, позволяющие вычислять неопределенные интегралы, применимы и тогда, когда речь идет о вычислении определенного интеграла. В частности, для вычисления определенного интеграла можно применять замену переменной и интегрирование по частям. Однако в применении к задаче вычисления определенного интеграла указанные два приема могут быть несколько специализированы.

     Теорема 1. Пусть f(z) - непрерывная функция, заданная на промежутке [p, q], а φ(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b], имеющая там непрерывную же производную φ'(x) и удовлетворяющая неравенству p ≤ φ(x) ≤ q.

     В таком случае

     (22)

     Формула (22) выражает собой правило замены переменной в определенном интеграле. Оно напоминает правило замены переменной в интеграле неопределенном, но отличается от него тем, что здесь отпадает надобность в возвращении к старой переменной, т. к. формула (22) представляет собой равенство двух постоянных чисел. Заметим еще, что эта формула заменяет собой для случая определенных интегралов оба вида правила подстановки в интегралах неопределенных; только, применяя ее на практике, иной раз приходится читать ее слева направо, а иногда - справа налево.

     Переходя к доказательству теоремы, обозначим интегралы, входящие в левую и правую части формулы (22), соответственно через I_лев и I_прав.

     Пусть F(z) - функция первообразная для f(z). Тогда по формуле Ньютона-Лейбница/p>

I_прав = F[φ(b)] - F[φ(a)].     (23)

Что же касается I_лев, то

Но согласно теореме будет

Значит,

I_лев = F[φ(b)] - F[φ(a)].

Отсюда и из (23) следует, что I_лев = I_прав.

решения некоторых задач

-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14-15-16-17-18-19-20-21-22-23-24-25-26-27-